Системний підхід до визначення змісту базової математичної освіти

У сучасних умовах розвитку освіти питання вдосконалення математичної підготовки дітей дошкільного та молодшого шкільного віку є особливо важливим. Математика не лише формує базові навички обчислення та логічного мислення, але й є фундаментом для розвитку здатності до аналізу та структурування інформації в різних сферах життя. Традиційна система математичної освіти, яка зосереджена на засвоєнні готових фактів і алгоритмів, часто не відповідає потребам сучасного суспільства, де ключовими стають інтеграційні та глобальні підходи до пізнання світу.

Традиційно в математичній освіті акцент робиться на дослідженні готових математичних моделей, тоді як створення власних моделей залишається поза увагою. Учні здебільшого засвоюють вже існуючі алгоритми та структури, не розвиваючи при цьому творчого мислення та здатності до побудови власних математичних концепцій. Це обмежує розвиток їхньої самостійності у вирішенні складних проблем та здатність до конструювання нових математичних моделей.

Крім того, у процесі навчання переважно використовується кількісне моделювання, в той час якісні моделі, що відображають взаємозв’язки та структуру об’єктів, часто залишаються недооціненими. Відсутність належної уваги до якісних моделей звужує розуміння учнями глибинних зв’язків між об’єктами та явищами, що є важливим аспектом системного мислення.

Як відомо, за допомогою структурного (якісного) моделювання, можна досліджувати математичними методами будь-які проблеми. Але, для цього необхідно вміти виділяти базові елементи об’єкта пізнання і відношення між ними. Кількісне моделювання ґрунтується на принципі локалізація об’єкта, виділення головного і абстрагування від несуттєвого. При такому підході вимушено розриваються зв’язки між об’єктами. У той час, як при структурному (якісному) моделюванні, навпаки, такі зв’язки враховуються.

Для того, щоб учні мали можливість пізнавати світ цілісно потрібно переорієнтувати математичну освіту на структурне моделювання, засноване на принципах глобалізації та цілісності. Це означає, що математична освіта має будуватися на засадах діалектичної логіки, а серед наскрізних умінь необхідно окремо виділити вміння мислити системно, тобто вміння бачити явища в їх розвитку, в русі. Дитина повинна пізнавати світ через його структурування. Учні мають вміти структурувати і бачити зміну (рух) структури.

Суттєвою проблемою математичного виховання є розрив, що існує між дошкільним вихованням і початковою школою. З нашої точки зору, доречно було б розробити комплексний стандарт дошкільного виховання і початкової освіти, як цілісного процесу. Це дозволило б зупинити хибну тенденцію проникнення абстрактної математичної мови в дошкільне виховання, що заважає ефективно використовувати найважливіший період життя дітей для їх математичного розвитку. Одночасно, такий підхід може забезпечити наступність між цими двома ланками освіти, зокрема проектувати неперервну математичну освіту дітей, починаючи від народження.

Метою цієї статті є розробка системного підходу до визначення змісту базової математичної освіти, заснованого на принципах структурного моделювання. Це дозволить розвивати у дітей здатність до системного мислення, яке передбачає вміння бачити явища та об’єкти у їхньому розвитку, взаємозв’язках і динаміці. Зокрема, запропоновано новий підхід до інтеграції математичних знань із загальним процесом пізнання світу, що включає не лише кількісні, але й якісні моделі реальності.

Завдання дослідження полягає в розробці концепції неперервної математичної освіти, яка охоплюватиме період від дошкільного до молодшого шкільного віку, враховуючи різні етапи інтелектуального розвитку дітей. Важливою складовою є впровадження методології, яка базується на математичних відношеннях, що дозволить формувати у дітей уміння вимірювати, аналізувати, структурувати та систематизувати інформацію на основі вивчення об’єктів пізнання.

Виклад основного матеріалу. Перш, ніж запропонувати системний підходи до визначення змісту базової математичної освіти, вважаємо за необхідне стисло викласти наш погляд на математику і математичну освіту. Повний виклад використовуваної методології представлено в роботах М. Ареста[] та автора цієї статті []. 

Ми поділяємо погляд М.Ареста на математику, як на інструмент пізнання навколишнього світу, як на розвиваючу структуру математичних відношень. В процесі пізнання об’єктів навколишнього світу математичними засобами відбуватися логічне відображення реальних об’єктів (кількостей, зв’язків, процесів, структур, процедур та систем) в деякі логічні об’єкти. Сам процес пізнання ми розглядаємо, як процес «занурення» в сутність об’єкта, при якому суб’єкт послідовно виділяє все нові і нові відношення. Важливо підкреслити, що, в процесі пізнання, відношення проявляються в певній послідовності: однорідності – зв’язності – динамічності – структурності – конструктивності – системності.

Ця система відношень, на думку М, Ареста є математичною, оскільки вона відображає весь шлях розвитку математичного знання. Одночасно вказані відношення є суб’єкт-об’єктними, які задаються парою (суб’єкт, якісний стан об’єкта). Вони відображають ставлення суб’єкта до об’єкта пізнання і залежать не тільки від якісного стану об’єкта, а й від можливостей (інтелектуальний розвиток) суб’єкт.

Тому, вслід за М. Арестом, ми розглядаємо математичний розвиток, як формування здібностей суб’єкта, знаходити логічні засоби для відображення якісного стану об’єкта. Тому освоєння зазначених математичних відношень стає змістом математичної освіти. Одночасно математичні відношення виступають інструментом конструювання математичного знання.

У вже згаданій раніше роботі [1] було показано, що в процесі освоєння математичних відношень у дітей формується не лише здатність самостійно конструювати математичні знання, але сама здатність освоєння математичних відношення формує у дитини відповідні видові форми логічного мислення: метричне – топологічне – аналітичне – структурне – алгоритмічне – системне.

Таким чином, основою математичної освіти стає множинна математика, а логічний стрижнем побудови математичної освіти стає система відношень.

Формуючи у дітей уявлення про сутність об’єкта у вигляді розвиваючої структури математичних відношень, ми не лише формуємо у них структурний погляд на світ, але і створюємо умови для математизації знань в різноманітних сферах.

Формування всіх представлених форм мислення можна здійснювати, починаючи з раннього дитинства (практично від народження). Але на кожному етапі пізнання будуть змінюватися, як об’єкти пізнання, так і форми їх логічного відображення.

Як відомо, засоби відображення реального світу мають дві основні форми:

1. Сенсорна форма відображення, в якій суб’єкт не створює ніяких додаткових інструментів відображення крім власних органів чуття.

2. Логічна форма відображення, в якій суб’єкт вже створює додаткові інструменти відображення. Рівень абстракції вказаних логічних інструментів виражають три основні формами логічного мислення: образне мислення, символьне мислення, понятійне мислення.

На кожному етапі відображення сутності об’єкта, логічні засоби відображення, представлені трійкою: логічний засіб, за допомогою якого відображається об’єкт, логічний спосіб використання засобів і логічна форма – продукт відображення.

Уміння, які необхідні суб’єкту для логічного відображення різноманітних станів об’єктів у знятому вигляді можна представити послідовністю: вимірювати – координувати – аналізувати – структурувати – проектувати – систематизувати.

Оскільки до 10-11 років (вік, коли учні закінчують початкову школу) діти, вже повинні досягти символьно-понятійного рівня розвитку, то математичну освіту дошкільного та молодшого шкільного віку ми розглядаємо, як базову. Саме в цей період, учні мають засвоїти певні фундаментальні математичні знання на такому рівні, щоб вони витрачали мінімум концентрації зусиль на їх застосування. Лише в тому випадку, може бути забезпечена неперервність математичної освіти, коли діти оволодіють деякими базовими математичними знаннями спочатку на предметному, потім на образному, і, на кінець, на символьно-понятійному рівні. Для цього важливо вдало відібрати об’єкти пізнання, доступні і цікаві для дітей. В процесі дослідження якісних станів цих об’єктів дитина, з одного боку, повинна мати можливість оволодіти елементарними навичками освоєння всіх математичних відношень, а з іншого – вміннями знаходити засоби для  відображення цих відношень

Для визначення змісту базової математичної освіти, спроектуємо перечисленні вміння з урахуванням інтелектуальних можливостей дітей дошкільного та молодшого шкільного віку, якими повинні оволодіти здобувачі освіти на момент закінчення початкової школи.

• Вміння вимірювати: Учні повинні вміти виявляти однаковість об’єктів у певному сенсі; користуватися не лише готовими вимірювальними інструментами, а й самостійно конструювати метричні шкали для визначення кількісних та якісних характеристик об’єктів. Вони мають навчитися вимірювати не лише величини (довжина, маса), а й похідні від величини (наприклад, співвідношення величин, зміна величини в часі).
• Вміння координувати: Учні повинні навчитися встановлювати зв’язки між об’єктами, включаючи людей, числа, величини та процеси. Вміння використовувати різні системи координації для відображення виявлених зв’язків.
• Вміння аналізувати: Учні повинні вміти не лише відстежувати кількісні зміни (через числові послідовності), а й аналізувати різноманітні процеси, що відбуваються в природі, суспільстві та мистецтві. Це включає в себе розробку засобів для відстеження змін, наприклад, у сюжетах творів або в алгоритмах дій.
• Вміння структурувати: Учні повинні навчитися формувати множини об’єктів, виділяти базисні елементи та встановлювати відношення між ними. Це вимагає розуміння системи відношень та вміння структурувати дані з метою виявлення основних елементів.
• Вміння проектувати: Учні повинні навчитися знаходити оптимальні форми для даних об’єктів. Вони мають вміти складати алгоритми оптимізації, а також визначати найбільші або найменші значення величини.
• Вміння систематизувати: Учні повинні навчитися систематизувати об’єкти за допомогою математичних відношень, а також прогнозувати їх розвиток. Це включає в себе системний підхід до освоєння усіх об’єктів пізнання.

Важливо, щоб ці вміння формувалися поступово, починаючи з базових понять у дошкільному віці та продовжуючи їх розвиток у молодшій школі. Тобто на кожному інтелектуальному рівні діти повинні використовувати відповідні для цього віку об’єкти пізнання, інструменти пізнання і форми відображення результатів пізнання. Іншими словами, на кожному віковому рівні необхідно використовуватися свою математичну мову. Це сприятиме формуванню стійких математичних навичок і компетентностей, що стануть основою для подальшого навчання. Необхідною умовою формування цих умінь. На жаль, сучасна система математичної освіти, використовує єдину, символьну математичну мову, яка із-за її високого рівня абстрактності є недоступною для дошкільників і складною для оволодіння молодшими школярами.

Важливо підкреслити, що на етапі раннього дитинства математичні відношення є засобам проектування системної ігрової освіти, яка закладає фундамент змісту базової освіти. Оскільки система відношень представляє структуру будь-якої проблеми, то, на відміну від традиційної, пропонована математична освіта стає загальною, корисною всім, не залежно від подальшої професійної діяльності.

Тепер визначимо об’єкти пізнання, доступні для дітей, які можна використати для формування вказаних вмінь. Виходячи із сучасної практики, ними можуть бути  наступні об’єкти:

• групи предметів (множини);
• дії з предметами та групами предметів (операції);
• арифметичні дії (числові вирази та вирази із змінною);
• арифметичні моделі (задачі);
• форми предметів (фігури та графічні моделі);
• розміри предметів (величини);
• розміщення предметів (просторові відношення);
• послідовність подій (часові відношення);
• можливі варіанти, випадки і ситуацій (імовірності)
• оптимальний вибір (прийняття рішення).

Конкретизуємо уміння, якими повинні оволодіти здобувачі освіти на момент закінчення початкової школи, враховуючи визначені об’єкти пізнання:

Уміння вимірювати – виявляти однорідність та фіксувати її на відповідному пізнавальному рівні:

• розпізнавати однаковість у групах предметів і фіксувати їхні спільні характеристики;
• бачити однакові властивості в різних об’єктах та фіксувати цю однаковість;
• розпізнавати однаковість у арифметичних діях та числових виразах;
• розпізнавати однаковість і основні компоненти арифметичних задач;
• розпізнавати однаковість у різних фігурах, та графічних моделях, фіксувати їх спільні властивості;
• бачити однаковість у розмірах предметів та фіксувати цю однаковість;
• розпізнавати однаковість у розміщені предметів на площині або в просторі;
• розпізнавати однаковість у часових поняттях;
• розпізнавати однакові випадки та варіанти в різних ситуаціях;
• розпізнавати однакові або схожі варіанти вибору та приймати прості рішення.

Уміння координувати – виявляти зв’язність та фіксувати її на відповідному пізнавальному рівні:

• бачити зв’язки між різними групами предметів та їх кількістю;
• бачити зв’язки між різними об’єктами та фіксувати їх у математичних операціях;
• бачити зв’язки між числами, арифметичними діями та виразами;
• бачити зв’язки між елементами задачі, задачами та арифметичними діями, видами задач;
• бачити зв’язок між різними фігурами, їх елементами, графічними моделями;
• бачити зв’язки між величинами різних предметів та розуміи, як вони можуть бути пов’язані;
• бачити зв’язки між предметами та їхнім розміщенням у просторі;
• бачити зв’язки між подіями у часі;
• бачити зв’язки між подіями та їхніми ймовірностями;
• бачити зв’язки між різними варіантами і критеріями для вибору чи прийняття рішення.

Уміння аналізувати – виявляти динамічність та фіксувати її на відповідному пізнавальному рівні:

• аналізувати зміни кількості предметів (елементів) у процесі дій з групами предметів
• аналізувати зміни та наслідків цих змін, які відбуваються в процесі виконання операцій над групами предметів (множиними).
• аналізувати вплив арифметичних дій на значення виразу та їх динамічний характер (зміна результату при зміні одного з чисел).
• аналізувати залежність між параметрами задачі та їх вплив на спосіб розв’язання і результат.
• аналізувати динамічні зміни фігур та графічних моделей.
• порівнювати величини, аналізувати зміни розмірів в результаті масштабування або перетворень.
• аналізувати просторові зміни та зміщень, будувати моделі руху об’єктів або їх зміщення у просторі.
• аналізувати часові зміни, вміння виявляти і розуміти причинно-наслідкові зв’язки у подіях.
• оцінювати ймовірності, прогнозувати можливі результати подій, аналізувати випадкові процеси і їх наслідки.
• оцінювати різні варіанти, вибирати оптимальне рішення на основі аналізу зміни параметрів або умов, прогнозувати наслідки прийнятого рішення.

Уміння структурувати – виявляти структурність та фіксувати її на відповідному пізнавальному рівні:

• групувати предмети за певною логікою, виявляти внутрішню структуру груп предметів.
• виявляти організацію об’єктів або чисел, розуміють, як об’єкти можуть бути частинами єдиного цілого.
• виявляти організацію арифметичних дій та їх результатів.
• виявляти організацію задач і логіку їх розв’язання.
• виявляти організацію і внутрішню структуру фігур та графічних моделей.
• розуміти структуру величин та їхню організацію.
• виявляти організацію та структуру взаємного розміщення предметів
• вміти розпізнавати різні етапи в часі, планувати та розподіляти час, розуміти і встановлювати хронологію подій, аналізувати організацію власного часу.
• вміти аналізувати випадкові події, виділяти їх складові частини, класифікувати події на елементарні та складні.
• приймати рішення на основі аналізу та оцінки різних варіантів, планувати дій на основі чіткої логіки і структури.

Уміння проектувати – виявляти конструктивність та фіксувати її на відповідному пізнавальному рівні:

• створювати нові групи предметів на основі аналізу та застосування своїх знань.
• розуміти, що об’єкти можуть бути об’єднані в складні структури з різних елементів.
• свідомо і обдумано виконувати обчислення виразів, вміти вибирати обчислювальний прийом, планувати послідовність дій, аналізувати результати і оптимізувати процес обчислень.
• вміти складати власні задачі на основі відомої інформації.
• усвідомлюють, як можна конструювати фігури з окремих елементів відповідно до заданих умов.
• вміти вимірювати, обчислювати та аналізувати фізичні характеристики предметів і створення на їх основі числові величини для різноманітних обчислень та рішень.
• вміти планування, аналізу подій у часі, будувати хронологічні структури, управління часовими аспектами різних процесів
• вміти досліджувати елементарні випадкові події, проводити аналіз даних і робити висновки на основі результатів експериментів.
• створювати алгоритми та моделі для прийняття оптимальних рішень.

Уміння систематизувати– виявляти системність та фіксувати її на відповідному пізнавальному рівні

• здатні аналізувати і оцінювати предмети не лише як ізольовані елементи, а як частини більшої системи.
• розуміють об’єкти та дії з ними як частини системи, що взаємодіють між собою, встановлюють, як різні елементи (об’єкти, дії) впливають один на одного, взаємодіють між собою.
• розглядають арифметичні дії в контексті більшої системи, що включає числа та їх властивості, взаємозв’язки між діями і числами, а також роль цих дій у розв’язуванні задач.
• розуміють арифметичні задачі як частину більшої системи математичних знань, необхідність використання знань з різних розділів математики для їх розв’язування.
• розуміють геометричні фігури не лише як окремі об’єкти, але й як елементи, що взаємодіють між собою в більш широкій геометричній системі.
• розуміють величини як частини складних систем та мають уявлення, як вони взаємодіють у реальному світі.
• розуміють, що розміщення предметів не є випадковим, а відбувається за певними законами і принципами, які формують систему.
• розглядають час не як ізольований елемент, а як складову частину системи, в якій події і процеси взаємодіють між собою.
• усвідомлюють, що різні фактори взаємодіють і впливають на результати, розуміють, що ймовірність можна використовувати для моделювання і прогнозування.
• розуміють, що вибір завжди впливає на результат, вміти моделювати і прогнозувати наслідки вибору, здатні розглядати різні варіанти вибору та оцінювати ризики.

Таким чином, кожен із запропонованих об’єктів пізнання проходить по 6 етапів, на кожному з яких діти (учні) вчаться виявляти і логічно відображати окремі математичні відношення, спочатку на предметному, потім образному і на завершення – символьно-понятійному рівні.

Основною метою дослідження груп предметів за кількістю є формування поняття натурального числа та вивчення нумерації. Досліджуючи групи предметів (множини) у здобувачів освіти:

• на етапі однорідності, діти виявляють однакові за кількістю групи предметів, що приводить до поняття «число». Але на предметному рівні це предметне число, яке дитина може відобразити за допомогою лічильного матеріалу, наприклад, показати на пальцях, на образному – число образне, яке можна показати за допомогою палички Кюїнезера, замальованими клітинками у зошиті, на понятійному, назвати числівник, на символьному записати цифрою.
• на етапі зв’язності, діти порівнюють групи предметів за кількість в результаті виникають поняття «більше» або «менше. Але на предметному рівні це «зайві» предмети у одній із груп, на образному одна із фігур, що позначає число, більша інша менша або на шкалі одне число знаходиться правіше, інше лівіше, на понятійному – при лічбі одне називається раніше, інше пізніше, на символьному, дитина використовує знаки порівняння.
• на етапі динамічності діти відстежують накопичення кількості докладаючи по одному предмету. В результатівиникає поняття «утворення числа». На предметному рівні це поняття діти демонструють за допомогою лічильного матеріалу, на образному, використовуючи образні, на понятійному – формулює правило, на символьному за допомогою виразу а+1.
• на етапі структурності діти відкривають ідею групування в результаті виникає поняття «розряд». На предметному рівні необхідність групування виникає тоді, коли предметів більше, ніж діти вміють лічити. У цьому випадку можна запропонувати лічити парами, трійками, п’ятірками. Якщо це не допомагає, то утворюємо групи вищого рівня складності: коробки, ящики. Таким чином, учні знайомляться із позиційними системами числення, починаючи з двійкової. На образному рівні можна організувати гру в магазин, де діти використовують двійкові трійкові або п’ятіркові гроші. На сивольно- понятійному рівні засвоюємо розрядні одиниці і розрядні числа.
• на етапі конструктивності перед дітьми виникає проблема оцінити кількість предметів у структурованій групі. В результаті виникає поняття цифри, як коефіцієнта розкладу та «розрядного складу числа». На предметному рівні діти називають у скільки ящиків, коробок помістилися предмети і ще скільки окремих предметів. На образному рівні кількість предметів позначають відповідними фігурами. Наприклад, образними грошовими купюрами, якими потрібно розрахуватися за покупку усіх предметів. На символьно-понятійному рівні називаємо і записуємо числа, утворені із розрядних.
• на етапі системномості діти усвідомлюють нескінченність множини натуральних чисел. В результаті виникає поняття «система числення» як спосіб оцінити будь-яку кількість предметів. Уже починаючи з предметного рівня бажано допомогти дітям відкрити циклічність процесу групування: коробки, ящики, великі коробки, великі ящики, дуже великі коробки і т.д. На образному рівні, така циклічність проявляється завдяки використання фігур однакої форми:

На символьному рівні вводимо поняття класу.

При такому підході, усі вказані поняття діти можуть відкрити самостійно, або при мінімальній допомозі дорослого, оскільки мета, яка ставиться перед дітьми на попередньому пізнавальному рівні стає засобом, для наступного рівня.

Метою виконання операцій з групами предметів є розкриття сутності арифметичних дій. Починаючи з предметного рівня, необхідно допомогти дітям усвідомити, що арифметичні дії над цілими невід’ємними числами дозволяють опосередковано визначити кількість предметів у групах утворених певним чином: в результаті об’єднання груп -дією додавання; вилучення частини предметів із групи – дією віднімання; утворених із кількох рівно чисельних груп – дією множення; про поділі групи на рівно чисельні частини використовують для ділення. Опановуючи дії з групами предметів (операції) у здобувачів освіти:

• на етапіоднорідності учні повинні усвідомити, що виконувати операції можна лише над однорідними предметами. При цьому результат арифметичної дії не залежить від якості компонентів, а лише від їх кількості. Наприклад не можна об’єднувати предмети і події, а при додаванні 3 яблук і 2 яблук одержимо 5 яблук. Так само, при додаванні 3 зошитів і 2 зошитів одержимо 5 зошитів. На предметному рівні арифметичні дії виконуються над предметними числами, на образному – над образними, а на символьно-понятійному учнів знайомлять із відповідною символікою та термінологією. Крім того, на цьому етапі формується поняття частини на предметному рівні шляхом ділення предмета на рівні частини. Вчать позначати частини на образному і символьному рівні.
  • на етапі зв’язності діти встановлюють зв’язки між діями додавання і віднімання та діями множення і ділення, спочатку на предметному, потім на образному рівні. На символьно-понятійному рівні формулюють і засвоюють відповідні правила. Також на цьому етапі формують уявлення про основну властивість дробу, використовуючи на різних пізнавальних рівнях різні інструменти.
  • на етапі динамічність відстежують вплив зміни компонент кожної арифметичної дії на її результат. На предметному і образному рівні результати спостережень демонструють послідовністю виразів, представлених відповідно у предметній або образній формі. На символьно-понятійному рівні формулюють і засвоюють відповідні правила. Також діти порівнюють частини, встановлюють її залежність від знаменника дробу на різних пізнавальних рівнях
  • на етапі структурності учні складають і заучують таблиці складу числа, додавання і віднімання, множення і ділення. На кожному пізнавальному рівні ці таблиці представлені у відповідній формі. На цьому етапі діти відкривають закони арифметичних дій. Виконують додавання і віднімання однакових частин.
  • на етапі конструктивності відкривають обчислювальні прийоми, засвоюють алгоритми виконання арифметичних дій на відповідному пізнавальному рівні..
  • на етапі системності учні розширюють алгоритми арифметичних дій на багатоцифрові числа. На предметному рівні виконують об’єднання структурованих груп, починаючи з двійкової, на образному виконують дії над структурованими образними числами, а на символьному над багатоцифровими числами. На цьому етапі системно досліджують дію ділення, вводять поняття ділення з остачею, встановлюють зв’язок між дією ділення і дробами. Для цього, на різних пізнавальних рівнях використовують різні інструменти. 

Після дослідження множин предметів, переходимо власне до дослідження математичних об’єктів. Першими такими об’єктами виступають арифметичні дії та числові вирази. Досліджуючи арифметичні дії у здобувачів освіти:

• на етапі однорідності формуються поняття виразу та його компонент. На предметному рівні вирази на додавання і віднімання представлені лінійною формою – два ряди предметів, розташовані один за одним, між якими залишають невеликий пропуск, щоб розрізняти компоненти. Дію множення і ділення у прямокутній або табличній формі, де однакові групи представлені рядами або стовпцями. Діти повинні розуміти таке представлення, вміти показувати компоненти і результати у кожному випадку. На образному рівні при додаванні «склеюють» образні числа у лінійну форму, при відніманні «відрізають» частину від образного числа. При множенні і діленні використовують прямокутну форму, утворену із образних чисел. На символічно-понятійному рівні знайомляться з відповідною символікою і термінологією. Вчаться записувати вирази і читати їх різними способами.
• на етапі зв’язності діти вчаться порівнювати вирази. Формується поняття числової рівності і нерівності. На предметному і образному рівнях доцільно використовувати різноманітні економічні ігри, ваги або їх симуляції. На символьно-понятійному рівні вводиться поняття тотожного перетворення.
• на етапі динамічність виникає поняття змінної. На предметному та образному рівні змінну демонструють за допомогою послідовностей. На символьному – за допомогою букв. Учні набувають навички відстежування і аналізу різних процесів, у яких відбуваються кількісні зміни. Складають і розв’язують рівняння і не рівності на відповідному пізнавальному рівнях.
• на етапі структурності формуються поняття про складені вирази та порядок дій у них. На предметному і образному рівнях діти будують складені вирази. При цьому порядок дій є очевидним. Наприклад, якщо «склеїти» прямокутну і лінійну форму, то очевидно, що спочатку треба підрахувати кількість елементів і прямокутній формі і до них додати кількість елементів лінійної форми. На сивольно-понятійному рівні формулюються правила про порядок дій на основі попереднього досвіду.
• на етапі конструктивності учні будують та обчислюють вирази складають і розв’язують рівняння відповідно до визначених умов. Знаходять оптимальні способи обчислення виразів та розв’язування рівнянь, складають відповідні алгоритми дій ф виконують їх.
• на етапі системності учні досліджують математичні зв’язки і застосування арифметичних дій в житті.

Однією із найважливіших математичних моделей базової математичної освіти є арифметична задача. Досліджуючи арифметичні моделі (задачі) у здобувачів освіти:

• на етапі однорідності формуються поняття «задача». На цьому етапі діти розв’язують задачі-дії, де вказано, які конкретні дії треба виконати і запитується про одержану кількість предметів. У дітей формується початкові уявлення про те, що у задачі задані деякі дані, вказується, які дії над ними потрібно виконати і запитується про одержаний результат. На предметному рівні діти виконують дії над вказаними предметами, на образному, моделюють ці дії за допомогою образних чисел, а на символьно-понятійному за допомогою схематичних рисунків.
• на етапі зв’язності учні пов’язують дії над предметами і арифметичними діями. Вчаться встановлювати відношення між заданими і шуканими величинами. Традиційно на цьому етапі учні вивчають умову задачі. На предметному рівні діти просто показують відповідні предмети та дії. На образному моделюють дані та дії за допомогою образних чисел. На символьному рівня цей процес часто завершується побудовою скороченого запису .
• на етапі динамічності учні досліджують зв’язки між заданими і шуканими величинами. Цей процес традиційно називають аналізом задачі. Результатом аналізу є обґрунтування вибору дії. В залежності від пізнавального рівня, результат аналізу може відображатися по-різному6 від показу на предметному рівні, до словесних пояснень на понятійному. Також на цьому етапі встановлюють як впливає зміна умови чи запитання на розв’язання задачі. На предметному і образному рівнях ці зв’язки відображають послідовністю виразів. На символьно-понятійному формулюють відповідні висновки.
• на етапі структурності здійснюється аналіз структури задачі. У простих задачах діти виділяють умову і запитання. Складені задачі розбивають на прості. Відображення результатів структурування на кожному пізнавальному рівні може відрізнятися. Якщо предметному діти можуть просто вказати задані дані і пояснюють, що питається в задачі, то на  образному  та понятійному для відтворення структури задачі часто використовуються схеми.
• на етапі конструктивності учні складають план або алгоритм розв’язку задачі і записують цей розв’язок. Також на цьому етапі учні доповнюють або змінюють умову чи запитання задачі, складають власні задачі. В залежності від пізнавального рівня, форма роботи може змінюватися.
• на етапі системності учні класифікують задачі за видами. Встановлюють алгоритми розв’язування типових задач, досліджують аналіз результатів і зв’язок задач з іншими математичними поняттями.

Основною метою вивчення елементів геометрії є набуття досвіду виявляти і логічно відображати властивості форми навколишніх предметів. Досліджуючи форму предметів (фігури):

• на етапі однорідності приходимо до понять «форма» та «фігура». На предметному рівні фігура виступає еталоном форми – якісною мірою, з якою діти порівнюють форму предметів. З часом, в процесі тривалого маніпулювання предметними моделями фігур та їх зображеннями, у дітей формується образ фігури, подібно до образів інших об’єктів: предметів, рослин, тварин, людей. Образ фігури поєднується з її назвою і постає в уяві дитини кожного разу, коли вона чує її назву фігури, бачить її модель, або зображення. На цьому рівні фігура ще ототожнюється з предметом чи зображенням. На понятійно-символьному рівні фігура уже сприймається як абстрактний об’єкт, певна множина точок, що володіють властивостями, описаними у її означенні. Учні початкової школи лише наближаються до цього рівня. Тому, у початковій школі означення даються не багатьом фігурам. Учні розпізнають фігури не на основі означень, а на основі сформованих образів.
• на етапі зв’язності, учні встановлюють зв’язки між фігурами та їх властивостями. На цьому етапі фігура сприймається дитиною як «носій» своїх властивостей. Властивості фігур діти відкривають в результаті безпосереднього сприймання предметних моделей або їх зображень. На образному рівні властивості фігур дитина встановлює на основі інтуїції – багаторазового, тривалого досвіду. Але і на цьому етапі дитині легше визначати властивості, якщо вона спирається на зображення чи предметну модель. На формально-логічному рівні усі властивості встановлюються на основі логічних міркувань з опорою на означення, аксіоми та теореми. У початковій школі ще не багато властивостей учні здатні визначити шляхом дедуктивних міркувань, опираючись на зв’язки між фігурами.
• на етапі динамічності діти спостерігають зміну форми та взаємного розміщення предметів. Така діяльність забезпечує геометричний розвиток. Наприклад, граючи в настільні ігри діти пересувають фішки по ігровому полю фіксуючи позицію кожного грака. Тут фішка виконує роль точки. Хоча діти ще про це ще не здогадуються. Тому вихователю варто використовувати відповідну термінологію, називаючи місця, де знаходяться фішки точками. Пізніше, в процесі образотворчої діяльності, діти позначають крапочкою потрібне їх місце на аркуші паперу. Цю крапочку з часом починають називати точкою. Це сприяє формуванню образу точки, у формі крапочки, кульки, маленьких предметів, розміри яких є неважливими. Такі образи не зовсім відповідають абстрактному поняттю «точка», яка не має розмірів і форми, а основною її властивістю є положення на площині чи просторі. Крім того точка виступає «будівельним матеріалом» для фігури, оскільки кожна фігура мислиться як множина точок. На формально логічному рівні точку можна представити не лише у формі крапки, але ще її координатними, системою рівнянь, тощо. Інший приклад. Виготовляючи «ковбаску» із пластиліну чи глини, діти спостерігають за зміною її форми. Катаючи її по столі бачать, як вона стає щоразу тоншою та довшою. З одержаної «ковбаски» можна утворити силуети різних предметів, що сприяє формуванню перших уявлень про лінію. На матеріальному рівні дослідження форми лінії відбувається при роботі з шнурком чи ниткою, зображені контурів предметів чи фігур на папері. Спочатку діти виділяють топологічні властивості ліній: неперервність, замкненість чи не замкненість. Натягуючи шнурок, чи проводячи лінію під лінійку виділяють проективні властивості лінії: крива, пряма. На завершення звертають увагу на метричні властивості: товщина, довжина. При формуванні цього поняття важливо підбирати образи, які б допомогли учням усвідомити суттєві властивості лінії, зрозуміти, що товщина для лінії є несуттєвою. Для цього підходять зображення фігур, де контур і внутрішня область зафарбовані у однаковий колір. Тоді учні чітко спостерігають лінію, що є межею фігури, яка не має товщини. На формально-логічному рівні лінія мислиться як множина точок. Зокрема, поняття «пряма» відноситься до основних понять геометрії і мислиться як нескінчена пряма лінія, що задається двома точками. Однак, з психологічної точки зору прямої є далеко не найпростіша фігура, оскільки поняття «лінія» є топологічним, властивість прямизни – проективним, а нескінченість – метричним. Як стверджують психологи, ці властивості предметів діти виділяють поступово і не одночасно.
• на етапі структурності, учні виділяють елементи форми предметів і фігур. Як зазначалося вище, спочатку діти виділяють топологічні, потім проективні і на завершення метричні властивості. Тому першими появляються поняття «поверхня» предметів та геометричних тіл, як межа, що відділяє їх від навколишнього простору, «лінія» як контур плоскої фігури, межа поверхні чи перетин поверхонь, «точка» як особливе місце на поверхні чи лінії, межа лінії чи перетин ліній. Далі виділяються проективні властивості. Діти усвідомлюють, що форма предмета чи фігури, залежить від форми її поверхні чи контуру. Виділяють криві і плоскі поверхні, криві і прямі лінії. На завершення, виділяються метричні властивості. Діти визначають елементи фігур, їх кількість та співвідношення розмірів. На образному рівні всі вказані властивості виділяються з опорою на відповідні образи на основі інтуїції. На формально-логічному на основі означень.
• на етапі конструктивності діти утворюють нові форми із наявних предметів і фігур, визначають послідовність виконання такої побудови. На образному рівні, учні вчаться зображати на папері не лише плоскі але й окремі просторові фігури. На формально логічному розв’язують задачі на побудову, що відповідають певним вимогам.
• на етапі системності встановлюються зв’язки між фігурами та їх властивостями. Учні бачать, що різні фігури можуть мати однакові властивості, що дозволяє виділять класи фігур та класифікувати їх за певними ознаками. На образному рівні така класифікація здійснюється на основі образів та інтуїції. У якості візуалізації результатів систематизації можуть використовуватися схеми. На формально-логічному рівні означення кожної фігури відбувається на основі основних і уже введених понять. Властивості фігур обґрунтовуються на основі аксіом, та раніше доведених теорем. В результаті одержуємо систематичний курс геометрії.

Проведений аналіз говорить про те, що до закінчення початкової школи у геометричному розвитку учні досягають образного рівня. Тут лише закладаються основи для формування понять на формально-логічному рівні та дедуктивних міркувань.

Однією із важливих характеристик предметів і явищ є величина. Вивчення величин відбувається подібно до вивчення нумерації та арифметичних дій. Досліджуючи розміри предметів (величини) у здобувачів освіти:

• на етапі однорідності формуються поняття основних величин та перших одиниць вимірювання. На предметному рівні діти повинні вміти показувати відповідні величини на предметах та виконувати безпосереднє порівняння величин, використовуючи прикладання, для довжини, визначення рівня рідини у двох однакових посудинах, зважування на терезах, тощо. На образному рівні для порівняння величин вводиться поняття міри. Учні повинні вибирати предмет у якості мірки і знаходити спосіб її використання. На понятійному-символьному рівні учні, перш ніж користуватися загально прийнятими вимірювальними інструментами повинні самі розробляти метричні шкали.
• на етапі зв’язності учні ознайомлюються із складеними величинами «периметр», «вартість», «площа», «пройдений шлях», «загальний виробіток» і т.д. та встановлюють зв’язки між трійками взаємозв’язаних величин. На предметному рівні ці зв’язки встановлюють, наприклад в процесі побудови прямокутника із паличок або квадратів. На образному – в процесі економічних ігор з використанням грошей, представлених у образній формі. На символьному рівні, використовуючи попередній досвід учні розробляють формули і користуються ними.
• на етапі динамічності встановлюють залежність однієї із трьох взаємозв’язаних величин від іншої при сталій третій. Відкривають прямо пропорційну і обернено пропорційну залежність між величинами. Ці залежності також на кожному пізнавальному рівні встановлюються різними засобами: побудови фігур, побудови образних моделей або використанням формул.
• на етапі структурності вводяться нові одиниці вимірювання величин та встановлюються зв’язки між ними. Кількість нових одиниць, що вводяться, залежить від пізнавального рівня дітей.
• на етапі конструктивності учні виконують обчислення з величинами (іменованими числами), використовують різні засоби для моделювання величин, зокрема, на сивольному рівні використовують формули. моделі.
• на етапі системності учні досліджують математичні моделі і проводять аналіз даних. На предметному рівні досліджують різні математичні моделі в реальних умовах. Наприклад, вони вимірюють об’єкти в класі та проводять аналіз даних (середнє значення, порівняння). На образному рівні використовують графіки, діаграми, які допомагають учням візуалізувати залежності між величинами. На символьному рівені для аналізу математичних моделей використовують формули та обчислення.

Досліджуючи розміщення предметів (просторові відношення) у здобувачів освіти:

• на етапі однорідності формуються поняття основних просторових відношень та встановлюють розміщення предметів відносно власного тіла. На предметному рівні діти опановують ці відношення в процесі взаємодії з реальними предметами. На образному опановують орієнтацію на обмеженому просторі аркуша паперу, що вимагає зміни позиції спостерігача. На символьно-понятійному рівні, описують свої дії, усвідомлюють роль системи відліку, для встановлення просторових відношень.
• на етапі зв’язності учні вчаться усвідомлювати зв’язки між предметами та їхнім розміщенням. Вчаться розміщувати і встановлювати розмішення предметів відносно інших предметів. На образному рівні опановують навичками читання зображень, встановлення та відображення на малюнку взаємне розташування предметів і фігур, зокрема відношення «під», «над», «попереду», «позаду» «зачеплення». На понятійному рівні описують розташування предметів на площині та в просторі.
• на етапі динамічності досліджують напрямки руху (прямолінійний, по заданій траєкторії, обертовий) та описують рух предметів і фігур. Основна увага на цьому рівні зосереджена на перехід на нові системи відліку. Діти вчаться описувати ситуації з позиції іншої людини. На предметному рівні діти змінюють своє положення (займаючи положення іншої людини) і описують положення предметів. На образному і понятійному рівні, вчимося виконувати аналогічні дії в уяві.
• на етапі структурності формуються уявлення про систему відліку та координати. Діти вчаться розмішувати та встановлювати розміщення предметів, на прямій, площині і у просторі за вказаними координатами, заданими в предметній, образній і символьній формі.
• на етапі конструктивності учні опановують моделювання просторових відношень з допомогою предметів, геометричних фігур та схематичних рисунків.
• на етапі системності учні досліджують геометричні моделі та взаємодію об’єктів у просторі. Усвідомлюють залежність між кількість орієнтирів та способом розміщення предметів на прямій, площині чи просторі. Встановлюють залежність просторових відношень від вибору стстеми відліку.

Досліджуючи послідовність подій (часові відношення):

• на етапі однорідності діти вчаться вести спостереження за часом, виділяють зміну дня і ночі, режимні моменти, зміну пір року, формуються поняття основних одиниць часу та циклічності.
• на етапі зв’язності діти усвідомлюють порядок подій, вчаться визначати теперішній, минулий і майбутній час. Формуються поняття «раніше» «пізніше», «вчора», «сьогодні», «завтра». Засвоюють назви і порядок днів тижня, місяців, пір року. Виділяють часові проміжки та їх тривалість.
• на етапі динамічності встановлюють зв’язки між початком події, її тривалістю і кінцем, учні моделюють зміни певних процесів чи подій у часі за допомогою графіків часу.
• на етапі структурності діти вчаться ділити час на окремі проміжки (хвилини, години, дні) знайомляться з структурою годинника і календаря, формуються знання про розклад і планування подій, представлення порядок подій за допомогою графіка часу.
• на етапі конструктивності учні опановують навичками моделювання часу; визначати, скільки часу займає виконання певних завдань чи подій; застосовувати технології для вимірювання та відстеження часу (наприклад, таймери, секундоміри); аналізувати процеси у часі. Оволодівають навичками планування і розподілу часу: визначати час на досягнення мети, складати розклади і плани, розподіляти час на різні завдання.
• на етапі системності учні навчаються сприймати час як ресурс, який можна аналізувати, вимірювати та відображати за допомогою різних інструментів. Учні досліджують взаємозв’язок часу і подій та циклічність у часі.

Досліджуючи можливі варіанти, випадки і ситуацій (імовірності) у здобувачів освіти:

• на етапі однорідності діти вчаться розпізнавати достовірні, неможливі і випадкові події. Розуміти, що деякі варіанти подій є однорідними, тобто мають однакові шанси на виникнення. Формується початкове поняття однакових шансів для різних варіантів.
• на етапі зв’язності учні починають розуміти, що результат однієї події може впливати на іншу. Формуються поняття незалежних і залежних подій та поняття умовної ймовірності, де ймовірність однієї події залежить від настання іншої події.
• на етапі динамічності учні починають розуміти, що події та ймовірності можуть змінюватися або залежати від кількох факторів, а також що події можуть бути не ізольованими, а пов’язаними між собою. Вони починають працювати не лише з окремими елементарними подіями (тобто найпростішими, однокроковими подіями), але й з складеними подіями. Це події, які складаються з кількох елементарних подій, пов’язаних логічними операціями  “і”, “або” виникають складені події.
• на етапі структурності учні опановують візуалізацію ймовірностей через побудову дерев ймовірностей, що допомагає їм структурувати послідовності подій, наочно бачити всі можливі варіанти результатів, систематизувати інформацію і обчислювати ймовірності складених подій. Засвоюють основи комбінаторики, оскільки для підрахунку кількості можливих варіантів (для складених подій) потрібно вміти комбінувати елементи та визначати кількість можливих поєднань.
• на етапі конструктивності учні опановують експериментальну ймовірність на основі реальних спостережень, опитувань або експериментів. Вони вчаться планувати і проводити такі експерименти: визначати мету експерименту, вибирати методи для його проведення, готувати необхідні матеріали, фіксувати результати, підраховувати частоти результатів і порівнювати їх з теоретичними ймовірностями.
• на етапі системності учні починають досліджувати випадкові процеси та системи взаємозалежних випадкових подій, представлені через прості, але наочні приклади з реального життя або ігрових ситуацій (кидання кубика або кількох кубиків, однієї або кількох монет, витягування однієї або кількох кульок з урни), аналізують ланцюжок подій в настільних іграх, результати експериментів тощо. Через інтерактивні та реальні завдання учні засвоюють базові поняття статистики (збір даних, таблиця частот, середнє арифметичне, мода і медіана, діаграми та графіки, діапазон або розмах.

Досліджуючи оптимальний вибір (прийняття рішення) у здобувачів освіти:

• на етапі однорідності формуються поняття порівняння об’єктів і простого вибору на основі вправ де вимагається із групи вибрати об’єкт, що відповідає певним критеріям а також ситуацій, що зустрічаються у житті дітей: раціонального розв’зку, найкоротшого шлях, найкращого рисунка тощо..
• на етапі зв’язності учні починають розуміти, що вибір можна робити не лише за одним критерієм, а й за кількома критеріями одночасно; вчаться оцінювати кожен варіант з різних сторін; розуміти, що зміна одного параметра може вплинути на інші варіанти або на вибір загалом. Вони вчатьсч приймати рішення з урахуванням кількох факторів одночасно та усвідомлювати взаємозв’язки між варіантами, що робить їхній вибір більш обдуманим і складним.
• на етапі динамічність учні починають працювати зі складеними критеріями вибору, де необхідно враховувати кілька параметрів одночасно та аналізувати їх вплив на кінцевий вибір. Здійснювати аналіз варіантів, що вимагає оцінювати плюси і мінуси кожного варіанту, а також бачити залежності між різними критеріями. Вчитися шукати компроміси або баланс між різними параметрами і приймати оптимальне рішення.
• на етапі структурності учні починають опановувати навички планування вибору, що включає свідоме, поетапне прийняття рішень з чітким уявленням про критерії та послідовність дій. Вони також вчаться розбивати складні задачі на підзадачі, що робить процес прийняття рішень більш структурованим і зрозумілим. Важливим інструментом на цьому етапі стають таблиці і діаграми, які допомагають організовувати та візуалізувати дані для аналізу та прийняття рішень.
• на етапі конструктивності учні переходять до більш складних форм діяльності, таких як побудова моделей і алгоритмів для прийняття оптимальних рішень. Вони не просто аналізують вже надані варіанти, а вчаться самостійно створювати моделі ситуацій, розробляти алгоритми для вирішення задач і навіть формулювати власні задачі на основі реальних чи вигаданих умов.
• на етапі системності учні починають глибше розуміти системний підхід до вибору, що включає аналіз складних ситуацій з урахуванням багатьох факторів, які взаємодіють між собою. Вони вчаться оцінювати різні варіанти не лише за окремими критеріями, але й з урахуванням їхньої взаємозалежності та впливу на кінцевий результат. Особлива увага приділяється тому, як ці навички можна використовувати для прийняття рішень у реальному житті.

Висновки.

Визначаючи змісту математичної підготовки дошкільнят і молодших школярів, ми розглядаємо математичну освіту як виховний процес формування та розвитку знань, умінь та навичок створення суб’єктом засобів відображення реального світу. У запропонованому проекті вперше вводитиметься поняття «базова математична освіта», яке охоплює віковий період від народження до закінчення початкової школи. Передбачається, що за цей період дитина має пройти всі етапи розвитку пізнавальних здібностей від сенсорного відображення до символьно-понятійного.

Також вперше, як основа математичної освіти, обрано математичні відношення, освоюючи які діти мають вчитися вимірювати, координувати, аналізувати, структурувати, проектувати і систематизувати. Як засіб пізнання пропонується множинна математика, що дозволяє будувати не лише кількісні, але і якісні математичні моделі. При цьому кількісне моделювання розглядається як базове.

Зміст навчання будується на основі системного освоєння математичних відношень в процесі дослідження об’єктів пізнання, які традиційно використовуються в математичному виховання дошкільної та початкової освіти. Однак, пропонується кардинально змінити сам процес пізнання. Тепер від учня не вимагається засвоєння готових логічних форм. Всі поняття формуються в процесі освоєння математичних відношень на відповідному пізнавальному рівні. При цьому діти повинні самі створювати власні засоби відображення відношень, доступні їхньому рівню пізнання. Такий підхід дозволить забезпечити послідовне формування основних видових форм логічного мислення: метричне – топологічне – аналітичне – структурне – алгоритмічне – системне, яке розглядаємо як рух від одного відношення до іншого.

Освоєння відношень передбачено на трьох пізнавальних рівнях: предметно образний для дошкільного виховання, образно-графічний для 1-2 класів та символьно-понятійний для учнів 3-4 класів.

Такий принцип побудови змісту дозволяє отримати систему завдань, складність яких зростає за рахунок переходу від одного математичного відношення до іншого. Формування у дитини уявлення про те, що структуру будь-якої проблеми можна представити системою математичних відношень, формує у неї структурне мислення при аналізі різних проблем, починаючи з навчальних і закінчуючи реальними, життєвими.

Для забезпечення неперервної математичної освіти, починаючи з раннього віку, необхідно кардинально міняти розвивальне середовище дошкільних закладів і школи, особливо початкової. Таке середовище має давати можливість дітям САМОСТІЙНО розробляти логічні інструменти відображення об’єктів пізнання на мові, що відповідає їх пізнавальному рівню.

Оснащення математичної освіти засобами сучасної множинної математики якісно змінить ситуацію в математичній освіті, зблизивши її із сучасною математичною наукою.

Подальших досліджень вимагає конкретизація очікуваних результатів навчання для різних рівнів інтелектуального розвитку дітей.

Література

1. Арест М.Я., Кіщук Н.В. Математична основа технологічної реалізації концепції Л. Виговського // Укр. пед. журн. = Ukrainian Educational Journal : наук. журн. – 2017. – N 1. – С. 42-50.
2. Кіщук Н. Основні положення Михайла Ареста про реформування математичної освіти. // Початкова школа і сучасність. – 2017. – №5. – с. 10-13.
3. Кіщук Н. Системний підхід до формування поняття натурального числа. // Початкова школа. – 2018. – №3. – с. 38-42.
4. Кіщук Н. Системний підхід до ознайомлення учнів з арифментичними діями. // Початкова школа. – 2018. – №7. – с. 43-48.
5. Кіщук Н. Системний підхід до ознайомлення учнів з арифментичними діями. // Початкова школа. – 2018. – №9. – с. 26-30.
6. Тупичкина Е.А.,Арест М.Я. Нестандартный подход к содержанию математического развития дошкольников // Детский сад: теория и практика. – 2012. – № 1.- С.18-27.